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幾何畫板驗證費爾巴哈定理

發布時間:2016-05-11 10:32:00

九點圓是幾何學史上的一個著名問題,最早提出九點圓的是英國的培亞敏。一位高中教師費爾巴哈也曾研究了九點圓,他的證明發表在1822年的《直邊三角形的一些特殊點的性質》一文里,文中費爾巴哈還獲得了九點圓的一些重要性質,故有人稱九點圓為費爾巴哈圓。費爾巴哈定理如下:九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切。那么該如何在幾何畫板中驗證該定理呢,動態演示定理的證明過程呢?本節我們就來一起探討。

具體的操作步驟如下:

步驟一 畫出九點圓。這里就不再詳細介紹畫九點圓的過程,具體可參考:如何用幾何畫板畫九點圓

繪制九點圓
在幾何畫板中畫出九點圓示例

步驟二 作內切圓。選擇點B、A、C,選擇“構造”菜單中的“角平分線”,作出∠BAC?的平分線k,?用同樣的方法作出∠ABC平分線l,選擇角平分線k、l,選擇“構造”菜單中的“交點”,作出內切圓圓心Q,選擇點Q、線段BC,選擇“構造”菜單中的“垂線”,作出線段BC的垂線m,求出線段BC和垂線m的交點R。?選擇點Q、R,選擇“構造”菜單中的“以圓心和圓周上的點作圓”,作出內切圓Q。

繪制內切圓
畫出九點圓的內切圓示例

步驟三 作旁切圓。選擇點B、A,選擇“構造”菜單中的“直線”,在直線AB上取一點S,選擇點C、A、S,選擇“構造”菜單中的“角平分線”,作出∠CAS?的平分線n,選擇角平分線l、n,選擇“構造”菜單中的“交點”,作出旁切圓圓心T,選擇點T和線段AC,選擇“構造”菜單中的“垂線”,作出垂線,求出AC和垂線的交點U,選擇點T、U,選擇“構造”菜單中的“以圓心和圓周上的點作圓”,作出旁切圓T。

繪制旁切圓
畫出九點圓的旁切圓示例

步驟四 隱藏輔助線,得到如下圖所示的九點圓的內切圓和旁切圓。

隱藏不必要對象
九點圓的內切圓和旁切圓示例

以上給大家講解了畫出九點圓的內切圓和旁切圓的方法,也由此驗證了費爾巴哈定理的正確性。費爾巴哈定理描述了三角形的九點圓與其內切圓以及三個旁切圓的位置關系,是平面幾何學中十分優美的定理之一。通過該教程,旨在讓大家理解費爾巴哈定理,掌握該定理的內容。幾何畫板不僅僅可以用來畫幾何圖,也可以驗證課本中的數學定理,在幾何畫板官網上介紹了利用幾何畫板驗證定理的教程,大家可以前往學習。

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